Электростатическая энергия системы зарядов. Энергия взаимодействия электрических зарядов

Энергия cистемы электрических зарядов

Электростатическая энергия системы зарядов. Энергия взаимодействия электрических зарядов

В случае движения в электростатическом поле заряда силы электрические силы взаимодействия совершают работу. Любая система зарядов имеет некоторую энергию за счет уменьшения которой, и совершается эта работа.

Энергия взаимодействия множества зарядов

Предположим, что у нас имеются шары небольшого диаметра, обладающие зарядом. Распределение заряда шаров обладает сферической симметрией. Работа, совершаемая при разведении зарядов $q_1$ и $q_2$ от расстояния $r$ до $r=\infty $ равна:

где $A'>0$, если заряды имеют одинаковые знаки, $A' \[W'=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon}\frac{q_2}{r}q_1+\frac{1}{4 \varepsilon_0 \varepsilon}\frac{q_1}{r}q_2\right)=\frac{1}{2}\left({\varphi }'_1q_1+{\varphi }'_2q_2\right)\left(2\right),\]

где ${\varphi }'_1$- потенциал, который создает второй шар в центре первого, ${\varphi }'_2$- потенциал, который создает первый шар в центре второго. Формулу (2) легко обобщить на случай из множества шарообразных тел, имеющих заряды $q_i$:

Формула (3) представляет энергию взаимодействия множества зарядов.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Потенциальная энергия зарядов при их непрерывном распределении может быть найдена в соответствии с формулой:

где в элементе объема ($dV$) находится заряд $dq=\rho dV,$ $\varphi $ — потенциал в точке объема $dV$.

Необходимо обратить внимание на то, что формула (3) представляет энергию взаимодействия между заряженными шарами, не учитывая энергию взаимодействия элементов самих шаров.

Формула (4) учитывает оба вида энергии и энергию взаимодействия между шарами, и энергию взаимодействия их частей между собой. Энергию взаимодействия элементов заряженного тела называют собственной энергией.

Если мы хотим рассчитать энергию взаимодействия заряженных тел по формуле (4), то проводим интегрирование по объемам этих тел ($V_i$), в нашем случае шаров:

Так в любой точке шара i потенциал ${\varphi }_i$ складывается из двух частей: ${{\varphi }_i}{(1)}$, который создан зарядами других шаров, и ${{\varphi }_i}{(2)}$, создан зарядами самого i –го шара. В таком случае формулу (5) можно записать в виде:

где ${\varphi }_i={{\varphi }_i}{(1)}+{{\varphi }_i}{(2)}$. Если, как в нашем случае мы имеем дела со сферически симметричным зарядом, то можно записать:

где ${\varphi }'_i$ – потенциал в центре шара, $q_i=\int\limits_{V_i}{\rho dV}-полный\ заряд\ шара.$ Тогда уравнение (6) можно записать как:

где $W'$ задана формулой (3). Собственная энергия тел $W{(2)}_i$ зависит от величины заряда тела и закона распределения заряда. Если заряд имеет равномерное распределение, то собственная энергия шара равна ($W{(2)}$):

Из (9) видно, что при стремлении радиуса шара к нулю его собственная энергия стремится к бесконечности, что ведет к проблемам при использовании понятия точечный заряд.

Формулу (3) можно применять при исследовании взаимодействий точечных заряженных тел, так как она не содержит бесконечных собственных энергий.

Как уже говорилось, формула (3) содержит лишь часть энергии — энергию взаимодействия.

Энергия всего пространства

Энергию всего пространства в изотропном диэлектрике можно вычислить по формуле:

\[W=\frac{1}{2}\int\limits_V{\overrightarrow{E}\overrightarrow{D}}dV\left(10\right),\]

где $\overrightarrow{E}$ — напряженность электростатического поля, $\overrightarrow{D}$-вектор электрического смещения ($\overrightarrow{D}=\varepsilon {\varepsilon }_0\overrightarrow{E}$).

Интеграл (10) сводится к интегралу по пространству между телами (у нас шарами), где имеется электростатическое поле $\overrightarrow{E}$. Энергии и уравнении (4) и (10) равны, но носителями энергии в (4) являются заряды, а энергии в (10) является поле, энергия представляется локализованной во всем пространстве. Плотность электрической энергии в изотропном диэлектрике равна:

\[w=\frac{1}{2}\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{D}\left(11\right).\]

Уравнение (8) можно представить в виде:

\[W'=W-\sum\limits_i{W{(2)}_i}\left(12\right).\]

Из (12) очевидно, что энергия взаимодействия между точечными зарядами может быть и положительной и отрицательной. Она больше нуля, когда их собственная энергия ($W{(2)}_i)($всегда $W{(2)}_i>0$) меньше полной энергии поля.

Если все заряды кроме одного (выделенного) не движутся, тогда энергия выделенного заряда называется его потенциальной энергией. Изменение потенциальной энергии связано с изменением энергии поля.

Из закона сохранения энергии следует, что уменьшение кинетической энергии частицы соответствует увеличению энергии поля и наоборот.

Пример 1

Задание: Рассчитать во сколько раз энергия кулоновского взаимодействия 2 электронов больше энергии их притяжения.

Решение:

Для того чтобы рассчитать энергию электрического взаимодействия электронов применим формулу:

\[W_e=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }\frac{q2_e}{r}\left(1.1\right),\] где $\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }=9•{10}9\frac{Нм2}{{Кл}2},\ где\ \varepsilon =1\ \left(для\ вакуума\right)$. $q_e=1,6\cdot {10}{-19}Кл.$

Для вычисления энергии гравитационного взаимодействия можно применить формулу:

\[W_g=\gamma \frac{m2_e}{r}\left(1.2\right),\]

где $\gamma $=6,67$\cdot {10}{-11}\frac{Нм2}{{кг}2}$ — гравитационная постоянная, $m_e=9,1{\cdot 10}{-31}кг.$

Найдем отношение ($\frac{W_e}{W_g}$):

\[\frac{W_e}{W_g}=\frac{\frac{1}{4 \varepsilon_0 \varepsilon}\frac{q2_e}{r}}{\gamma \frac{m2_e}{r}}=\frac{\frac{1}{4 \varepsilon_0 \varepsilon}q2_e}{\gamma m2_e}\ \left(1.3\right).\]

Данные все записаны выше, проведем расчет:

\[\frac{W_e}{W_g}=\frac{9•{10}9}{6,67•{10}{-11}}{\left(\frac{1,6•{10}{-19}}{9,1{•10}{-31}}\right)}2=\frac{23,04\cdot {10}{-29}}{552,\ 34\cdot {10}{-51}}=4,2\cdot {10}{42}.\]

Ответ: $\frac{W_e}{W_g}=4,2\cdot {10}{42}$ раз.

Пример 2

Задание: Две тонкие концентрические сферы с имеющие заряды $q_1$ и $q_2$ имеют радиусы $R_1$ и $R_2$. Найдите полную энергию системы.

Решение:

Энергия взаимодействия сфер может быть найдена при использовании формулы:

\[W'=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }\frac{q_2}{R_2}q_1+\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }\frac{q_1}{R_2}q_2\right)=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }\frac{q_2q_1}{R_2}\left(2.1\right),\]

Найдем собственную энергию первой сферы ($W_1$) c помощью формул:

\[W_1=\int{wdV},\ w=\frac{{\varepsilon }_0\varepsilon }{2}E2\to W_1=\int\limits{\infty }_{R_1}{\frac{{\varepsilon }_0\varepsilon }{2}E2}\cdot 4\pi r2dr=\frac{{\varepsilon }_0\varepsilon }{2}\int\limits{\infty }_{R_1}{{\left(\frac{q_1}{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon r2}\right)}2}\cdot 4\pi r2dr=\frac{1}{2\cdot 4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }{q_1}2\int\limits{\infty }_{R_1}{{\left(\frac{1}{r}\right)}2}dr=\frac{{q_1}2}{8\pi {\varepsilon }_0\varepsilon R_1}\left(2.2\right)\]

По аналогии для сферы радиуса $R_2\ $ запишем:

\[W_2=\frac{{q_2}2}{8\pi {\varepsilon }_0\varepsilon R_2}\left(2.3\right).\]

В таком случае полную энергию системы (W) запишем как сумму:

\[W=W'+W_1+W_2=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }\frac{q_2q_1}{R_2}+\frac{{q_1}2}{8\pi {\varepsilon }_0\varepsilon R_1}+\frac{{q_2}2}{8\pi {\varepsilon }_0\varepsilon R_2}.\]

Ответ: Полная энергия системы равна: $W=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }\frac{q_2q_1}{R_2}+\frac{{q_1}2}{8\pi {\varepsilon }_0\varepsilon R_1}+\frac{{q_2}2}{8\pi {\varepsilon }_0\varepsilon R_2}$.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/elektrostatika/energiya_cistemy_elektricheskih_zaryadov/

Электрический заряд. Взаимодействие электрических зарядов. Закон Кулона

Электростатическая энергия системы зарядов. Энергия взаимодействия электрических зарядов

Знакомство с явлениями электростатики лучше начинать в сухую погоду. Расчесывая волосы, снимая свитер можно наблюдать в темноте проскакивание крошечных искр и слабое потрескивание. Если потереть пластиковую расческу о волосы и поднести ее к мелким кусочкам бумаги, то они начнут притягиваться к расческе.

Электризация – физическое явление, которое приводит к возникновению взаимодействия (притяжения или отталкивания) двух тел, например, при приведении их в плотный контакт или при трении (стекло и кожа, плексиглас и шерсть, резина и шерсть). Обнаружено в Древней Греции при трении янтаря (по-гречески – «электрон») о шерсть.

Взаимодействие наэлектризованных тел в состоянии покоя называется электростатическим взаимодействием.

Опыты по взаимодействию заряженных тел показали, что в природе существуют два вида заряда. Б. Франклин назвал один из них положительным, а другой – отрицательным. Разноименные заряды притягиваются, а одноименные – отталкиваются.

Различают следующие виды электризации:

  1. Трением.
  2. Соприкосновением.
  3. Через влияние
  4. При облучении.

При электризации тел трением всегда одновременно заряжаются оба участвующих в электризации тела (например, стекло и шелк). Причем одно из них приобретает положительный заряд, а другое – отрицательный. Если до электризации оба тела не были заряжены, то величина положительного заряда первого тела оказывается в точности равной величине отрицательного заряда второго тела.

Современная теория объясняет электризацию твердых тел как перемещение электронов, входящих в состав атомов любых тел, с одного тела на другое.

В состав ядра входят положительно заряженные элементарные частицы – протоны. На теле, приобретающем отрицательный заряд, образуется избыточное число электронов по сравнению с числом протонов, а на положительно заряженном теле оказывается недостаток электронов по сравнению с числом протонов.

Электрический заряд – характеристика заряженного тела. Минимальный заряд обозначается буквой e и равен 1,6·10–19 Кл. Такой заряд имеют электрон и протон. Первые, наиболее точные определения заряда электрона были выполнены американским ученым Р. Милликеном и русским физиком А. Ф. Иоффе.

Для обнаружения и измерения электрического заряда используют электрометр. По углу отклонения стрелки модно судить о величине заряда.

Уменьшение числа электронов в одном теле равно увеличению их числа в другом. При этом полный заряд такой системы не изменяется, оставаясь равным нулю.

Сохранение числа протонов и электронов на соприкасающихся телах объясняет подтверждающийся опытом закон сохранения заряда: в электрически замкнутой системе алгебраическая сумма зарядов не меняется.

Количественное исследование взаимодействия заряженных тел осуществил в 1785 году французский физик Ш. Кулон (1736-1806). Он исследовал взаимодействие небольших заряженных металлических шариков при помощи крутильных весов.

На тонкой проволоке была подвешена стеклянная палочка с двумя металлическими шариками на концах. Одному шарику сообщали электрический заряд. Рядом с ним помещали неподвижный заряженный таким же по знаку зарядом шар. По углу поворота стеклянной палочки Ш.Кулон определял силу взаимодействия. Расстояние измерялось между центрами шаров.

Модуль силы взаимодействия F12 между двумя неподвижными точечными электрическими зарядами q1 и q2 в вакууме пропорционален произведению модулей этих зарядов и обратно пропорционален квадрату расстояния R12 между ними.

Точечный заряд – модель реальных заряженных тел,  размер которых значительно меньше, чем расстояние между ними.

Если имеется система точечных зарядов, то сила, действующая на каждый из них, определяется как векторная сумма сил, действующих на данный заряд со стороны всех других зарядов системы. При этом сила взаимодействия данного заряда с каким-то конкретным зарядом рассчитывается так, как будто других зарядов нет.

Сила взаимодействия точечных зарядов зависит от свойств среды, в которой они находятся:

Свойства среды определяет диэлектрическая проницаемость среды ε.

Границы применимости закона Кулона:

  • для точечных зарядов
  • для неподвижных зарядов
  • справедлив до расстояний не меньше 10-15 м

Применение электризации

1.Электрофильтры.

Для очистки воздуха от пыли, например,  при производстве цемента, очистки частиц дыма на ТЭС используют электрофильтры. Наэлектризованные частицы пыли притягиваются к заряженному элементу внутри фильтра.

2. Равномерное распыление краски краскопультом.

Электростатическая покраска используется для покрытия металлических поверхностей, например, в покрасочном цехе автомобильных кузовов. Для равномерного распыления краски на краскопульт подают отрицательный заряд, а  кузову автомобиля сообщают положительный заряд. Отрицательно заряженные капельки краски равномерно распределяются по поверхности кузова, образуя прочный, ровный слой.

3. Изготовление наждачной бумаги.

4. Генератор высокого напряжения Ван де Граафа.

Электризация нашла практическое применение в науке и технике. До недавнего времени в ядерных исследованиях на ускорителях элементарных частиц широко применялся генератор Ван-дер-Ваальса.

С его помощью удавалось генерировать напряжение до нескольких миллионов вольт. Генератор разработан в 1929 году американским физиком Робертом Ван-дер-Ваальсом. Используется электризация трением.

Заряд переносится на движущейся ленте и многократно снимается с нее на полый металлический проводник.

5. Очистка зерна.

6. Дактилоскопия.

7. Лазерный принтер и ксерокс.

Электризация тел при облучении нашла применение в ксерокопирование и лазерном принтере.

8. Медицина.

При работе люстры Чижевского образуется большое количество отрицательных ионов кислорода. При вдыхании воздуха ионы кислорода отдают электрические заряды эритроцитам крови, а затем – клеткам. Вследствие чего улучшается обмен веществ в организме.

Учет электризации

  1. Перевозка топлива.
  2. Электризация нитей на ткацкой фабрике.
  3. Электризация самолета во время полета.
  4. Электризация одежды.

Опорный конспект:

Источник: https://fizclass.ru/elektricheskij-zaryad-vzaimodejstvie-elektricheskix-zaryadov-zakon-kulona/

Слободянюк А.И. Физика 10/9.8

Электростатическая энергия системы зарядов. Энергия взаимодействия электрических зарядов

книги

Предыдующая страница

9.8 Потенциальность электростатического поля. Потенциальная энергия взаимодействия электрического заряда с электрическим полем

Если электрическое тело действует на электрически заряженные тела, то оно способно совершить работу по перемещению заряженных тел.

Электростатическое поле, создаваемое точечным зарядом, является центральным, то есть сила, действующая на точечный заряд в таком поле, направлена вдоль прямой, соединяющей заряд-источник и пробный заряд. Ранее мы показали, что любая центральная сила является потенциальной, то есть работа этой силы не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением тела.

Вкратце напомним доказательство этого важнейшего утверждения. Пусть точечный пробный заряд q движется в центральном поле, создаваемом неподвижным зарядом Q (Рис. 174). Сила, действующая на пробный заряд, определяется законом Кулона

\(~\vec F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{|\vec r|3} \vec r\) ,

где \(~\vec r\) – вектор, проведенный от заряда источника Q, к точке A, в которой находится пробный заряд.

При движении заряда по дугам окружностей с центром на заряде Q (например, по дугам AB, CD) работа электрической силы равна нулю, так векторы силы и перемещения взаимно перпендикулярны.

При движении же в радиальном направлении (например, по отрезкам BC, DE) работа зависит только от начального и конечного расстояния до заряда источника. Так работы электростатического поля при перемещении по отрезкам DE и D1E1 , очевидно равны.

Самое красивое доказательство этого утверждения связано с симметрией поля – повернем нашу систему вокруг оси проходящей через источник, так, что бы отрезок D1E1 совпал с отрезком DE – распределение поля при этом не изменится, почему должна изменится работа поля?

Так как для напряженности электростатического поля справедлив принцип суперпозиции, то потенциальным является любое электростатическое поле.

Действительно, пусть точечный заряд q находится в электрическом поле, создаваемым системой неподвижных точечных зарядов Q1, Q2, … ,QN .

При перемещении заряда на малый вектор перемещения \(~\Delta \vec r\) , по определению, электрическое поле совершит работу \(~\delta A = \vec F_{rez} \cdot \Delta \vec r\) , где

\(~\vec F_{rez} = \vec F_1 + \vec F_2 + \ldots + \vec F_N = \sum_{k=1}{N} {\vec F_k}\) ,

результирующая сила, действующая на движущийся заряд q, равная сумме сил, действующих со стороны каждого из неподвижных точечных зарядов Qk. Работа этой силы может быть вычислена по формуле

\(~\delta A = \vec F_{rez} \cdot \Delta \vec r = \vec F_1 \cdot \Delta \vec r + \vec F_2 \cdot \Delta \vec r + \ldots + \vec F_N \cdot \Delta \vec r = \sum_{k=1}{N} {\vec F_k \cdot \Delta \vec r}\) . (1)

Для того, чтобы вычислить работу по конечному участку траектории, необходимо разбить траекторию на малые участки (Рис. 175), затем с помощью формулы (1) вычислить работу на каждом малом участке, после чего их просуммировать

\(~A = \delta A_1 + \delta A_2 + \delta A_3 + \ldots = \vec F_1{(rez)} \cdot \Delta \vec r_1 + \vec F_2{(rez)} \cdot \Delta \vec r_2 + \vec F_3{(rez)} \cdot \Delta \vec r_3 + \ldots\) . (2)

Фактически, данная сумма является двойной, так как каждая результирующая сила, является суммой сил, в соответствии с формулой (1). Обратим внимание, что в формуле (2) результирующая сила изменяется, так как вычисляется в разных точках траектории.

Как мы показали ранее, работа электрического поля точечного заряда не зависит от формы траектории, то есть каждое слагаемое из формулы (1) не зависит от формы траектории, следовательно, и вся сумма не зависит от формы траектории. Таким образом, любое электростатическое поле является потенциальным.

Следовательно, для точечного заряда, находящегося в электростатическом поле можно ввести потенциальную энергию взаимодействия U(x,y,z).

Эта функция имеет следующий физический смысл: работа электрического поля при перемещения точечного заряда из одной точки с координатами (x1,y1,z1) в другую, с координатами (x2,y2,z2) равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком:

\(~A = -\Delta U = -(U(x_2,y_2,z_2) – U(x_1,y_1,z_1))\) . (3) Изменение знака в данном определении достаточно логично: если электрическое поле совершило положительную работу (A > 0), то его энергия уменьшается (ΔU< 0).

Для вычисления работы силы взаимодействия между двумя точечными заряженными телами достаточно подсчитать эту работу при движении вдоль радиального отрезка при изменении расстояния от r1 до r2 (Рис. 176).

Если построить зависимость силы взаимодействия между зарядами \(~F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{r2}\) от расстояния r между телами, тогда площадь под графиком этой зависимости в указанных пределах и будет равна искомой работе (Рис. 177).

Зависимость силы электростатического взаимодействия от расстояния аналогична силе гравитационного взаимодействия, с одним существенным отличием: гравитационная сила всегда есть сила притяжения, а электрическая может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания. В частности два положительных заряда отталкиваются.

Поэтому выражение для работы электрического поля, будет аналогично формуле для работы гравитационной силы, но иметь противоположный знак

\(~A_{12} = \frac{Qq}{4 \pi \varepsilon_0} \left (\frac{1}{r_1} – (\frac{1}{r_2} \right)\) .

Эта работа равна уменьшению потенциальной энергии взаимодействия, то есть

\(~A_{12} = \frac{Qq}{4 \pi \varepsilon_0} \left (\frac{1}{r_1} – (\frac{1}{r_2} \right) = -\Delta U = -(U_2 – U_1)\) .

Из этого выражения можно определить выражение для потенциальной энергии электростатического взаимодействия двух точечных зарядов

\(~U(r) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{r}\) . (4)

При таком определении потенциальная энергия взаимодействия двух зарядов одного знака положительна и стремится к нулю при бесконечном расстоянии между телами \(~U(\infty) = 0\) .

Сила взаимодействия зарядов противоположных знаков направлена в противоположную сторону, поэтому работа этой силы при увеличении расстояния между зарядами будет отрицательна.

Однако нам нет необходимости делать какие-то дополнительные оговорки, так как формула (4) автоматически учитывает знаки зарядов – если заряды противоположны, то их произведение (соответственно и энергия) отрицательны.

Знак потенциальной энергии взаимодействия зарядов имеет очень наглядный смысл.

Заряды одного знака отталкиваются, поэтому при их «разбегании» на бесконечно большое расстояние, электрическое поле совершит положительную работу – следовательно, изначально система этих зарядов обладает способностью совершить работу, поэтому ее энергия положительна, при удалении зарядов друг от друга их энергия уменьшается до нуля. Заряды противоположных знаков притягиваются, для того чтобы удалить их на бесконечно большое расстояние, внешние силы должны совершать положительную работу. При этом энергия пары зарядов должна возрастать, следовательно, изначально она отрицательна, а при удалении зарядов друг от друга возрастает до нуля. В целом обычная ситуация – притяжению соответствует отрицательная энергия, а отталкиванию – положительная. Отметим только, что такая очевидность справедлива только при выборе нулевого уровня потенциальной энергии на бесконечности.

Формула (4) определяет потенциальную энергию взаимодействия двух точечных заряженных тел. Величины зарядов тел Q и q входят, как и следовало ожидать, в эту формулу симметрично.

Подразделение зарядов на заряд-источник и пробный заряд является условным, их вполне можно поменять местами.

Поэтому данную формулу предпочтительнее записывать в симметричном виде: энергия взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2 равна

\(~U(r) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}\) , (5)

и имеет смысл работы, совершаемой полем при увеличении расстояния между зарядами от r до бесконечности, независимо от того, движется ли первый заряд, или второй, или движутся оба заряда, наконец, не зависимо от траекторий движения обоих зарядов.

Далее, нельзя сказать какому именно заряду «принадлежит» эта энергия, в дальнейшем мы покажем, что энергия взаимодействия зарядов есть часть энергии самого электростатического поля, то есть она «размазана» по всему пространству, где существует поле, создаваемое этими зарядами.

Если система состоит из более чем двух зарядов, то для подсчета энергии взаимодействия этих зарядов необходимо просуммировать энергии взаимодействия всех пар зарядов

\(~\begin{matrix}U &=& U_{12} &+& U_{13} &+& U_{14}& + \ldots \\ & & &+& U_{23} &+& U_{24}& + \ldots \\ & & & & &+& U_{34}& + \ldots = \\ &=& \sum_{all\ pairs} {\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_i q_k}{r_{ik}}}\end{matrix}\) , (6)

здесь Uik – энергия взаимодействия зарядов qi и qk, находящихся на расстоянии rik друг от друга (Рис. 178).

С несколько иной формой записи энергии взаимодействия зарядов мы познакомимся чуть позднее.

Следующая страница

Источник: http://www.physbook.ru/index.php/%D0%A1%D0%BB%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B4%D1%8F%D0%BD%D1%8E%D0%BA_%D0%90.%D0%98._%D0%A4%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_10/9.8

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.